Grundlagen

Die Photometrie ist die Wissenschaft von der Messung des Lichts. Sie zielt darauf ab, den Fluss oder die Intensität des von astronomischen Objekten ausgestrahlten Lichts zu messen. In Siril kann die Photometrie verwendet werden, um die Lichtkurve veränderlicher Sterne, Transits von Exoplaneten oder Sternbedeckungen zu analysieren oder um Farben in RGB-Bildern zu kalibrieren.

Die verwendete Methode ist die Aperturphotometrie. Ihr Grundprinzip besteht darin, den beobachteten Lichtstrom in einem bestimmten Radius um das Zentrum eines Objekts zu summieren und dann den Gesamtbeitrag des Himmelshintergrunds in derselben Region abzuziehen (berechnet im Ring zwischen dem inneren und dem äußeren Radius, unter Ausschluss der abweichenden Pixel), so dass nur der Lichtstrom des Objekts übrig bleibt, um eine instrumentelle Helligkeit zu berechnen. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Kreise der Aperturphotometrie

Die Werte dieser Einstellungen können in der Sektion Photometrie der Voreinstellungen geändert werden. aperture muss alle Pixel des zu messenden Objekts enthalten, annulus sollte dagegen keine seiner Pixel enthalten. Standardmäßig wird aperture für ein Ziel mit der doppelten FWHM der PSF eingestellt, aber die Größe des Annulus ist fest. Diese Werte sollten für ein bestimmtes Sampling angepasst und sorgfältig überprüft werden.

Bemerkung

Der folgende Text ist eine gekürzte und modifizierte Kopie der ausgezeichneten MuniPack-Softwaredokumentation von David Motl, die unter der GNU Free Documentation License veröffentlicht wurde und deren Quellen hier verfügbar sind.

Messung der Helligkeit eines Objekts

Die Summe S der Pixel in einem kleinen Bereich A um ein Objekt ist die Summe der Nettointensität I des Objekts plus der Hintergrundintensität \(B\cdot A\):

(1)\[ S = I + B\cdot A\]

Die Werte von S und B werden aus dem Quellbild abgeleitet, die Fläche A wird als Fläche eines Kreises mit dem Radius r bestimmt, wobei r die Größe der Blende in Pixeln ist. Es ist dann einfach, die Nettointensität I eines Objekts in ADU zu berechnen:

(2)\[ I = S - B\cdot A\]

Unter der Annahme, dass die Nettointensität I proportional zum beobachteten Fluss F ist, können wir die scheinbare Helligkeit m des Objekts mit Hilfe des Pogsonschen Gesetzes ableiten:

(3)\[ m = -2.5 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\]

Abschätzung des Messfehlers

Nachdem wir die instrumentelle Rohhelligkeit eines Objekts ermittelt haben, werden wir versuchen, seinen Standardfehler zu schätzen. Zunächst werden wir uns an einige allgemeine Regeln erinnern, die für den Standardfehler und seine Ausbreitung gelten. Dies ist eine allgemeine Regel für die Fehlerfortpflanzung durch eine Funktion f mit unsicherem Wert X:

(4)\[ \operatorname{Var}(f(X)) = \left(\frac{df}{dx}\right)^2 \operatorname{Var}(X)\]

Aus dieser allgemeinen Regel leiten wir zwei Gesetze der Fehlerfortpflanzung ab. Im ersten Fall wird der unsichere Wert X mit einer Konstanten a multipliziert und um einen konstanten Offset b verschoben. Dieses Gesetz kann auch für den Fall angewendet werden, dass nur eine Multiplikation oder nur eine Verschiebung stattfindet.

(5)\[ \operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)\]

Das zweite Gesetz definiert den Fehler eines Logarithmus einer unbestimmten Größe X:

(6)\[ \operatorname{Var}(\log(\pm bX)) = \frac{\operatorname{Var}(X)}{\bar{X}^2}\]

Bitte beachten Sie, dass die log-Funktion hier der natürliche Logarithmus ist, während die Pogson-Formel (siehe oben) den Logarithmus zur Basis 10 enthält. Die folgende Gleichung hilft uns, mit diesem Unterschied umzugehen:

(7)\[ \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\]

Setzt man diese beiden Gleichungen zusammen, erhält man:

(8)\[ \operatorname{Var}(\log_{10}(\pm bX)) = \frac{\operatorname{Var}(X)}{\bar{X}^2\,\log(10)^2}\]

Wenn wir zwei unkorrelierte unbestimmte Variablen X und Y haben, ist die Varianz ihrer Summe die Summe ihrer Varianzen, diese Gleichung ist als Bienaymé-Formel bekannt.

(9)\[ \operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)\]

Aus dieser Formel lässt sich auch der Standardfehler eines Stichprobenmittelwerts ableiten. Wenn wir N Beobachtungen einer Zufallsvariablen X mit einer stichprobenbasierten Schätzung des Standardfehlers der Grundgesamtheit s haben, dann ist der Standardfehler einer Stichprobenmittelwertschätzung des Grundgesamtheitsmittels

(10)\[ SE_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{N}}\]

Mit diesem Wissen ausgestattet, können wir über die Schätzung des Standardfehlers der Objekthelligkeit nachdenken. Wir werden die folgenden drei Unsicherheitsquellen in Betracht ziehen: (1) zufälliges Rauschen innerhalb der Teleskopöffnung, das das thermische Rauschen des Sensors, das Ausleserauschen des Signalverstärkers und des Analog-Digital-Wandlers umfasst, (2) Poisson-Statistiken der Zählung diskreter Ereignisse (auf den Sensor auftreffende Photonen), die während eines festen Zeitraums auftreten, und (3) der Fehler bei der Schätzung der mittleren Himmelshelligkeit.

Für die Schätzung des mittleren Himmelsniveaus haben wir den Algorithmus des robusten Mittelwerts verwendet. Er ermöglicht die Schätzung seiner Stichprobenvarianz \(\sigma_{pxl}^2\). Dies ist eine pixelbasierte Varianz, und da wir A Pixel in der Sternblende summiert haben, gilt die Bienaymé-Formel: Die Summe S ist eine Summe von A unkorrelierten Zufallsvariablen, von denen jede die Varianz \(\sigma_{pxl}^2\) hat. Für die Varianz der ersten Fehlerquelle erhalten wir:

(11)\[ \sigma_1^2 = A\,\sigma_{pxl}^2\]

wobei A eine Anzahl von Pixeln in der Sternblende ist.

Aus der Poisson-Statistik können wir eine Varianz ableiten, die durch die Zählung diskreter Ereignisse, der auf einen Sensor auftreffenden Photonen, entsteht, die während eines festen Zeitraums, der Belichtung, auftreten. Wir müssen wiederum die Verstärkung/Gain p des Sensors verwenden, um eine Intensität in ADU in eine Anzahl von Photonen umzuwandeln. Wenn die gemessene Nettointensität eines Objekts I ist, berechnen wir die mittlere Anzahl von Photonen \(lambda\) als

(12)\[\lambda = I\,p\]

Bemerkung

Der Wert der Verstärkung p des Sensors/ADC-Konverters kann im Abschnitt Photometrie der Siril-Einstellungen geändert werden

Dann ist die Varianz der Intensität aufgrund der Poisson-Statistik gleich ihrem Mittelwert.

(13)\[ \sigma_{ph}^2 = \operatorname{Var}(\operatorname{Pois}(\lambda)) = \lambda = I\,p\]

Die Varianz ist in Photonen angegeben, wir müssen sie in ADU umrechnen, um die Varianz in Einheiten \(ADU^2\) zu erhalten.

(14)\[ \sigma_2^2 = \frac{\sigma_{ph}^2}{p^2} = \frac{I\,p}{p^2} = \frac{I}{p}\]

Wir haben den Himmelspegel als Stichprobenmittelwert der Pixelpopulation im Himmelsring abgeleitet. Da jedes Pixel im Ring eine Varianz \(\sigma_{pxl}^2\) hat, ist die Varianz des Stichprobenmittelwertes

(15)\[ s_{sky}^2 = \frac{\sigma_{pxl}^2}{n_{sky}}\]

wobei \(n_{sky}\) die Anzahl der Pixel im Himmelsring ist.

Aus der Gleichung (9) wird die Varianz der Intensität des Objekts berechnet als

(16)\[ \sigma_{ADU}^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + A^2\,s_{sky}^2\]

Beachten Sie, dass in der Gleichung (2) der Himmelspegel mit A multipliziert wird, so dass wir seine Varianz mit \(A^2\) multiplizieren müssen - siehe die Gleichung (16). Nun verwenden wir das Gesetz der Fehlerfortpflanzung für den Logarithmus, der mit der Formel des Pogsonschen Gesetzes übereinstimmt.

(17)\[ \sigma_{mag}^2 = \left(\frac{-2.5}{I\,\log(10)}\right)^2\,\sigma_{ADU}^2\]

Setzt man die Gleichungen (17) und (16) zusammen, kann man den Standardfehler der Helligkeit des Objekts in Magnituden ableiten als

(18)\[ \sigma_{mag} = \frac{1.08574}{I}\,\sqrt{\sigma_{ADU}^2}\]