Принципы

Фотометрия — это наука об измерении света. Она занимается измерением потока или интенсивности света, излучаемого астрономическими объектами. В Siril фотометрия может использоваться для анализа кривой блеска переменных звёзд, транзитов экзопланет или затмений звёзд, а также для калибровки цвета в изображениях RGB.

В качестве метода используется апертурная фотометрия. Его основной принцип заключается в суммировании наблюдаемого потока в заданном от центра объекта радиусе, затем вычитании общего вклада фона неба в той же области (рассчитанного по кольцу между внутренним и внешним радиусами, исключая отклоняющиеся пиксели), оставляя только поток объекта чтобы рассчитать инструментальную звёздную величину. Это проиллюстрировано на следующих рисунках.

Значения этих настроек можно изменить в разделе Фотометрия настроек или с помощью команды setphot. Апертура должна содержать все пиксели измеряемого объекта, кольцо, напротив, не должно содержать ни одного из его пикселей. По умолчанию апертура настраивается на цель с использованием удвоенного значения FWHM динамической PSF, но размер кольца фиксирован. Эти значения следует настраивать для заданного разрешения и тщательно проверять.

Примечание

Нижеследующий текст представляет собой сокращенную и измененную копию превосходной документации по программному обеспечению MuniPack, подготовленной Дэвидом Мотлом и выпущенной под лицензией GNU Free Documentation License, исходные тексты которой доступны здесь.

Измерение звёздной величины объекта

Сумма S пикселей в небольшой области A вокруг объекта представляет собой сумму чистой интенсивности объекта I и интенсивности фона \(B\cdot A\):

(1)\[ S = I + B\cdot A\]

Значения S и B получены из исходного кадра, площадь A определяется как площадь круга радиусом r, где r — размер апертуры в пикселях. Тогда легко вычислить чистую интенсивность I объекта в ADU:

(2)\[ I = S - B\cdot A\]

Предположив, что суммарная интенсивность I пропорциональна наблюдаемому потоку F, мы можем определить видимую величину m объекта, используя закон Погсона:

(3)\[ m = -2.5 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\]

Оценка ошибки измерения

После того, как мы получим чистую инструментальную яркость объекта, мы попытаемся оценить ее стандартную ошибку. Прежде всего, мы вспомним несколько общих правил, которые применяются к стандартной ошибке и ее распространению. Это общее правило для распространения ошибки через функцию f неопределенного значения X:

(4)\[ \operatorname{Var}(f(X)) = \left(\frac{df}{dx}\right)^2 \operatorname{Var}(X)\]

Используя это общее правило, мы выводим два закона распространения ошибок. В первом случае неопределенное значение X умножается на константу a и сдвигается на постоянное смещение b. Этот закон можно использовать и в случае, когда происходит только умножение или только смещение.

(5)\[ \operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)\]

Второй закон определяет погрешность логарифма неопределенного значения X:

(6)\[ \operatorname{Var}(\log(\pm bX)) = \frac{\operatorname{Var}(X)}{\bar{X}^2}\]

Обратите внимание, что функция log здесь является натуральным логарифмом, в то время как формула Погсона (см. выше) включает логарифм по основанию 10. Следующее уравнение помогает нам справиться с этой разницей:

(7)\[ \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\]

Объединив эти два уравнения, получаем:

(8)\[ \operatorname{Var}(\log_{10}(\pm bX)) = \frac{\operatorname{Var}(X)}{\bar{X}^2\,\log(10)^2}\]

Если у нас есть две некоррелированные неопределенные переменные X и Y, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий, это уравнение известно как формула Бьенеме.

(9)\[ \operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)\]

Из этой формулы мы также можем вывести стандартную ошибку выборочного среднего. Если у нас есть N наблюдений случайной величины X с оценкой стандартной ошибки совокупности s на основе выборки, то стандартная ошибка выборочного среднего оценки среднего значения совокупности равна

(10)\[ SE_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{N}}\]

Вооружившись этими знаниями, мы можем начать думать об оценке стандартной ошибки яркости объекта. Мы рассмотрим следующие три источника неопределенности: (1) случайный шум внутри апертуры звезды, который включает в себя тепловой шум детектора, шум считывания усилителя сигнала и аналого-цифрового преобразователя, (2) пуассоновскую статистику подсчета дискретных событий (фотонов, падающих на детектор), которые происходят в течение фиксированного периода времени, и (3) погрешность оценки среднего уровня неба.

Для оценки среднего уровня неба мы использовали надёжный алгоритм среднего. Он позволяет оценить его выборочную дисперсию \(\sigma_{pxl}^2\). Это дисперсия на основе пикселей, и поскольку мы просуммировали A пикселей в апертуре звезды, применяется формула Бьенеме, сумма S является суммой A некоррелированных случайных величин, каждая из которых имеет дисперсию \(\sigma_{pxl}^2\). Для дисперсии первого источника ошибки мы получаем:

(11)\[ \sigma_1^2 = A\,\sigma_{pxl}^2\]

где A — количество точек в апертуре звезды.

Из статистики Пуассона мы можем вывести дисперсию, которая возникает из-за подсчета дискретных событий, фотонов, падающих на детектор, которые происходят в течение фиксированного периода времени, экспозиции. Нам снова понадобится использовать коэффициент усиления детектора (gain) p, чтобы преобразовать интенсивность из ADU в количество фотонов. Если измеренная чистая интенсивность объекта равна I, мы вычисляем среднее число фотонов \(\lambda\) как

(12)\[\lambda = I\,p\]

Примечание

Значение коэффициента усиления детектора (gain) p можно изменить в разделе Фотометрия настроек Siril

Тогда дисперсия интенсивности, обусловленная статистикой Пуассона, равна ее среднему значению.

(13)\[ \sigma_{ph}^2 = \operatorname{Var}(\operatorname{Pois}(\lambda)) = \lambda = I\,p\]

Дисперсия выражена в фотонах, нам нужно преобразовать ее обратно в ADU, чтобы получить дисперсию в единицах \(ADU^2\).

(14)\[ \sigma_2^2 = \frac{\sigma_{ph}^2}{p^2} = \frac{I\,p}{p^2} = \frac{I}{p}\]

Мы вывели уровень неба как выборочное среднее значение совокупности пикселей в кольце неба. Поскольку каждый пиксель в кольце имеет дисперсию \(\sigma_{pxl}^2\), дисперсия выборочного среднего равна

(15)\[ s_{sky}^2 = \frac{\sigma_{pxl}^2}{n_{sky}}\]

где \(n_{sky}\) — количество пикселей в кольце неба.

Из уравнения (9) мы вычисляем дисперсию интенсивности объекта как

(16)\[ \sigma_{ADU}^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + A^2\,s_{sky}^2\]

Обратите внимание, что в уравнении (2) уровень неба умножается на A, поэтому нам нужно умножить его дисперсию на \(A^2\) - см. уравнение (16). Теперь мы используем закон распространения ошибки для логарифма, принятого в соответствии с формулой закона Погсона.

(17)\[ \sigma_{mag}^2 = \left(\frac{-2.5}{I\,\log(10)}\right)^2\,\sigma_{ADU}^2\]

Объединяя уравнения (17) и (16), мы можем вывести стандартную ошибку яркости объекта в звёздных величинах как

(18)\[ \sigma_{mag} = \frac{1.08574}{I}\,\sqrt{\sigma_{ADU}^2}\]